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Hyp�rbel

[706] Hyp�rbel (v. griech. hyperbole, »ï¿½berschu�«), in der Geometrie eine zur Klasse der Kegelschnitte (s. d.) geh�rige Kurve, die durch zwei feste Punkte F und F' (s. Figur), die sogen. Brennpunkte, und durch eine Gerade von gegebener L�nge 20. bestimmt ist, und zwar ist f�r jeden ihrer Punkte P die Differenz seiner Entfernungen von den Brennpunkten gleich 23. Die Verbindungslinie F F' der Brennpunkte hei�t die Hauptachse der H., die Mitte O von FF' ihr Mittelpunkt, die auf FF' in O senkrecht stehende Gerade BB' die Nebenachse. Die H. besteht aus zwei getrennten, sich ins Unendliche erstreckenden, zur Nebenachse symmetrischen Zweigen oder �sten, von denen jeder wieder zur Hauptachse symmetrisch ist; f�r jeden Punkt P des einen Astes ist F'P-FP = 2a, f�r jeden Punkt P des andern Astes: FP-F'P = 2a. Die Geraden F'P und FP nennt man die Radienvektoren (Leitstrahlen) von P. Auf der Hauptachse liegen zwei Punkte A und A' der H., die von O die Entfernung a haben und Scheitel hei�en, auf der Nebenachse liegt kein Punkt der H. Da in dem Dreieck F'PF die Differenz der beiden Seiten F'P, FP kleiner ist als die dritte FF' = 2e, so ist a kleiner als e, die Zahl e = ^e/_a ist daher gr��er als l und hei�t die numerische Exzentrizit�t, w�hrend e selbst die lineare Exzentrizit�t genannt wird. Setzt man b = √(e²-a²) und benutzt die Hauptachse zur x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems (s. Koordinaten), die Nebenachse zur y-Achse, so wird die Gleichung der H. ^x2/_a2-^y2/_b2 = 1.

Die Tangente PT der H. im Punkt P halbiert den Winkel zwischen den Leitstrahlen F'P und FP. Die H. besitzt zwei Asymptoten, die durch den Mittelpunkt O gehen, d. h. zwei gerade Linien OC und OC�, die, verl�ngert, der H. immer n�her und n�her kommen, ohne sie jemals zu erreichen. Die Punkte CC' findet man, wenn man auf AA' in A die Senkrechte CC' errichtet und AC = AC' = b macht. Ist a = b, so stehen die Asymptoten aufeinander senkrecht, und die H. hei�t gleichseitig. Vgl. Kegelschnitte.

In der Rhetorik und Poetik hei�t H. die rednerische, bez. dichterische �bertreibung, d. h. die Charakterisierung eines Gegenstandes durch einen �ber das wirkliche oder m�gliche Ma� hinausgehenden Ausdruck. Die H. ist entweder ernst gemeint oder komisch; sie soll je nachdem die Bedeutung des Objekts steigern oder es in komische Beleuchtung r�cken. Am h�ufigsten findet sie sich bei orientalischen Dichtern, bei Calderon, Shakespeare, Schiller, Victor Hugo, ebenso bei unsern Kraftdramatikern von Lenz und Klinger bis Hebbel. Antike Dichter und Schriftsteller sind damit sparsam, auch Goethe wendet sie selten an. Zahlreiche Beispiele komischer Hyperbeln geben Shakespeare, Jean Paul u. a. (z. B. bei Shakespeare: »Dein Kopf steht so wacklig auf d�nnen Schultern, da� ein verliebtes Milchm�dchen ihn herunterseufzen kann«).